Existen múltiples opciones para exportar o realizar copias de seguridad de bases de datos en MySQL: phpMyAdmin, MySQL Workbench, utilizando la línea de comandos, etc. Si nos referimos a una página web, podremos hacer uso de unas u otras en función de las posibilidades que nos ofrezca nuestro proveedor de hosting.
Otra de esas posibilidades de las que hablamos es realizar el respaldo con PHP, lo que nos permitirá hacerlo con casi todos los hostings, además de que es fácilmente automatizable. La principal desventaja, por contra, es que es una opción algo más laboriosa, pues tendremos que programar el script. Pero como la rueda casi siempre está inventada, en internet tienes muchas soluciones que te facilitarán la labor.